《principles of digital communication》这本书它自己就承认了,波形是数学分析、实值和复值变量,泛函分析、线性代数...等数学的内容,还要对此进行比工科教材更为深入的讨论。作为一个已经差不多把数学全部还给老师的学渣,在阅读到各种定理、证明和公式的时候,情绪还是相当沮丧的。想想两年前还发状态说感受到了数学的美,毕竟图样。

但是话说回来,啃书和下棋一样,要有大局观。一花凋零荒芜不了整个春天,许许多多个知识点看不明白,只要知道这里属于哪个大枝干的哪个小分支,回溯下也总能把路子走通。Robert G. Gallager站在一个学者和创造者的角度去讲述然和所以然,思维方式的巨大差异,学渣只能以一个不严谨的攻城狮兼或程序猿的姿态去勉强追求学以致用。向学者思维致敬!

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数字调制(信道编码)将输入的二进制序列转换为适合信道传输的波形。接收端相应的过程就是解调(信道译码),将接收波形(带有噪声)转换为二进制序列,这里的二进制序列应该是发端调制器输入序列的复制。到这里,我们已经大概了解了数字通信在宏观上的整个流程:

数字通信原理1

 

数字通信原理2数字通信原理3

 

 

 

 

 

上面三幅图描述的非常清楚,以二进制接口为划分,图2(↖)的内容包括离散和模拟量信源的编译码,之前已经介绍过,图3(↗)展示的是二进制序列进入到调制器之后发生的事情。调制器的所做的工作又可以看成两层:一层是从比特序列到数值信号(实数或者复数)序列,另一层是从数值信号序列到波形。解调器则相反,先把接收信号(波形)映射为数值信号序列,再把数值映射为比特序列。设计调制和解调时,既要尽可能提高进入调制器的比特率,又要使得解调器输出的复原比特序列的错误率足够小。这时,将需要考虑设计调制解调的第三层,即基带波形和带通波形的相互转换。

原始信号叫baseband signal,即基带信号,这种信号的频率低,损耗大且不效率,调制后(指第三层)的信号可以高效通过带通滤波器。最简单的调制类型就是幅度调制(PAM, Pulse Amplitude Modulation),即把基带波形上调到某个频带进行通信。具体操作时,先将输入的二进制序列按b比特进行分组。b比特分组有M = 2^b种不同,将其映射到实数组成的信号星座\mathcal{A} = \{a_1, a_2, ... , a_M\}。令R为二进制符号的输入速率,单位是每秒比特数,则b bits分组形成的序列,即M进制信号序列u_1, u_2, ... 的速率为R_s = R / b,单位是每秒信号个数,然后用基本脉冲波形p(t)的不同时移来把这个信号序列映射为波形u(t),即

u(t) = \sum\limits_{k}u_kp(t - kT)

接下来介绍PAM的一个漂亮的设计,M-PAM信号星座,标准M-PAM信号星座包含M = 2^b个实数,以d为间隔,在圆点周围对称分布。如果输入的比特是独立等概的随机变量,则u_kM进制信号序列)是在星座\mathcal{A}(字符集)上等概率取值的随机变量U_k的样本,并且U_1, U_2, ... 是独立同分布的,则信号的均方差E_s = E[{U_k}^2]。在用加性白高斯噪声模型分析上式的时候(公式推导略),可得结论噪声是通信的根本限制。

PAM解调,首先不考虑噪声。解调器需要从接收波形中提取出u_1, u_2, ... 。PMA解调器的中间层由与调制器一样的信号间隔T和一个实波形q(t)确定。解调器先把接收波形通过一个冲击响应为q(t)的滤波器,然后按时间间隔T进行抽样。滤波后的波形是

r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}q(t - \tau)d\tau

相应的,抽样值分别为r(T), r(2T), ...

因此,对所有k, p(t), q(t),要求使得r(kT) = u_k。进而推导出p(t) = (1 / \sqrt(T))sinc(t / T)是满足无码间干扰(所有的u_k都能被满足)的一个解。之后教材导出并讨论了奈奎斯特准则,给出了无码间干扰传输时应满足的条件。

还有一种调制方式是正交幅度调制(QAM),QAM解决的是将复基带波形u(t)调制为带通波形x(t)的问题。标准QAM和标准PAM中的映射和均匀量化器中的代表点相同。这两种方式由于简单和接近最优,因而被广泛使用。(暂且到这里)