听朱老师说,QAM在实际应用中占主流,就又过了一遍(门外汉实在是翻到那里看哪里)。和PAM调制器一样,QAM调制器有三层:先把比特序列映射为复信号序列,再把复信号序列映射为复基带波形,最后把复基带波形映射为实带通波形。解调器则按照相反的次序进行与调制器相反的功能(下文中符号表示及内容有参考若干资料,有一些符号的latex编辑是要让人瞎眼的节奏。在查阅和比对的过程中,学渣还发现了译版的若干错误和不合理之处)。

QAM的基带波形u(t)是复函数,将这个基带波形向上频移,可以得到复波形u(t)e^{2\pi f_ct},再加上其复共轭部分,得到实带通波形为

x(t) = u(t)e^{2\pi f_ct} + u^*(t)e^{-2\pi f_ct}

上篇介绍的PAM的带通信号可以看做当上式中 u(t)为实函数时的一个特例。x(t)还可以等价的表示成下面的形式

x(t) = 2\Re\{u(t)e^{2\pi f_ct}\} = 2\Re\{u(t)\}cos(2\pi f_ct) - 2\Im\{u(t)\}sin(2\pi f_ct)

上式解释了实现QAM的一般方式,即把u(t)按两个基带实波形\Re\{u(t)\}\Im\{u(t)\}实现,然后分别乘上同相载波和异相载波,从而调制为带通波形。为什么选用系数2,暂且不做讨论。

-------------------------------------有了大体数学模型,下面扯信号------------------------------------------

比特序列以速率R bits/s到达,按照b bits分组转换为复信号序列u_k,故信号速率R_s = R/b (signal/s),信号间隔是T = 1/R_s = b/R。其中u_k取值于信号集\mathcal{A}(字符集,星座图),大小M = |\mathcal{A}| = 2^b

由于QAM的发送信号u_k \in \mathbb{C},可以将u_k看成是\mathbb{R}^2中的二元实数组。M^{'}\times M^{'}标准QAM信号集是两个M^{'}-PAM信号集的笛卡尔乘积,即

\mathcal{A} = \{(a^{'} + ia^{''})|a^{'}\in \mathcal{A}^{'}, a^{''}\in\mathcal{A}^{'}\}

\mathcal{A}^{'} = \{-d(M^{'} - 1)/2, ..., -d/2, d/2, ..., d(M^{'} - 1)/2\}

因此信号集\mathcal{A}是一个方阵,有M = (M^{'})^2 = 2^b个信号对称分布在原点的周围。用d表示二维平面上两个信号点之间的最小距离,用E_s表示二维的平均信号能量,则E_s是每维平均信号能量的二倍,并且有

E_s = \frac{d^2[(M^{'})^2 - 1]}{6} = \frac{d^2[M^2 - 1]}{6}

设计信号星座时,在给定dM的条件下,希望能使E_s最小。有一个简单的结论,M很大并给定最小距离时,正六边形格要比方格有更小的E_s。实际当中基本都是采用M^{'}\times M^{'}标准QAM信号集。

-------------------------------------信号说的差不多了,下面扯过程------------------------------------------

若一个函数\{u(t) : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}\}为勒贝格可测,且勒贝格积分\int_{-\infty}^{\infty}|u(t)|^2dt有限,则称其为\mathscr{L}_2函数。若黎曼积分存在,则勒贝格积分就存在,积分值也相同。例如对于一个二元函数,黎曼积分采用对x轴分割的形式进行积分,勒贝格则对y轴分割进行积分。

QAM基带调制器由信号间隔T和复\mathscr{L}_2波形确定。复信号点构成的序列\{u_k\}对基本脉冲p(t)的时移p(t - kT)进行幅度调制,得到复发送信号

u(t) = \sum\limits_{k\in\mathbb{Z}}u_kp(t - kT)

假设从复基带发送信号到带通信号,中间信道传输以及从带通信号到重新还原出基带信号u(t)的整个过程是理想的,那么QAM解调器由时间间隔T\mathscr{L}_2波形q(t)确定。解调器首先用q(t)u(t)滤波,得到滤波器的输出

r(t) = \int_{-\infty}^{\infty}u(\tau)q(t - \tau)d\tau

然后按间隔T进行采样,样值为r(T), r(2T), ...,还需要把实信号转换为复信号,其余过程和分析与PAM一致。

基带和带通之间的转换前面已经提到过,不再赘述。先到这里。